Question

【題目】已知橢圓G： + =1（b＞0）的上、下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為M、N和F，且△MFN的面積為4 ．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)．以AB為底作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（﹣3，2），求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵橢圓G： + =1（b＞0），c2=3b2﹣b2=2b2，即c= b，

由△MFN的面積為4 ，則 ×2b×c=4 ，即bc=4 ，

則b=2，a2=3b2=12，

∴橢圓G的方程為：

（2）

解：設(shè)直線l的方程為y=x+m，由 ，整理得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），AB的中點(diǎn)為E（x0，y0），

則x0= =﹣ ，y0=x0+m= ，

因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，則PE⊥AB．

∴PE的斜率k= =﹣1，解得m=﹣2，

此時(shí)方程①為4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，

∴y1=﹣1，y2=2．

∴|AB|= =33 ．

此時(shí)，點(diǎn)P（﹣3，2）到直線AB：x﹣y+2=0的距離d= = ，

∴△PAB的面積S= |AB|d= ，

△PAB的面積

【解析】（1）由題意方程，求得c= b，根據(jù)三角形的面積公式，求得bc=4 ，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m的值，代入求得A和B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式及三角形的面積公式，即可求得△PAB的面積．