已知橢圓
＝1(a＞b＞0)的一個頂點的坐標為A(0，－1)，且右焦點F到直線x－y＋
＝0的距離為3．
(Ⅰ)求該橢圓的方程；
(Ⅱ)是否存在斜率不為0的直線l，使其與已知橢圓交于M、N兩點，滿足AM⊥AN，且|AM|＝|AN|．
(Ⅲ)若斜率為k的直線l與橢圓交于M，N兩點，使得|AM|＝|AN|，求k的取值范圍．
|
(Ⅰ)由已知b＝1． 又橢圓右焦點F(c，0)到直線x－y＋
∴c＝ 可得 故橢圓的方程為 (Ⅱ)不存在． 若存在直線l∶y＝kx＋m(k≠0)滿足條件，則建立方程組
消去y，得( 判別式 △＝ 即 設(shè) M( 由方程①及韋達定理，有
由直線l的方程，得 ∴MN中點B的坐標為( 又由|AM|＝|AN|，有AB⊥MN， ∴ 化簡后得 m＝ 于是中點B的坐標為( 不等式②可化為 (－12)× 即 9( 解得 －1＜k＜1．(k≠0) 若AM⊥AN，則|AB|＝
又 ∴
由
即
故 滿足條件的直線l不存在． (Ⅲ)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m， 建立方程組 消去y，得 判別式 △＝ 即 設(shè) 由方程①及韋達定理，有
代入直線l的方程，得 ∴MN中點B的坐標為( 又由|AM|＝|AN|，有 AB⊥MN， ∴ 化簡后得 m＝ 不等式②可化為 (－12)× 即 解得 －1＜k＜1． 故 直線l的斜率k的取值范圍為(－1，1)． |
科目：高中數(shù)學 來源：2009年高考數(shù)學理科(四川卷) 題型：044
已知橢圓
＝1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e＝
，右準線方程為x＝2．
(Ⅰ)求橢圓的標準方程；
(Ⅱ)過點F1的直線l與該橢圓交于M，N兩點，且
，求直線l的方程．
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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省高三3月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，已知橢圓
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(
＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；
(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
如圖，已知橢圓
＝1(a＞b＞0)過點(1，
)，離心率為，左、右焦點分別為F1、F2.點P為直線l：x＋y＝2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程．
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2.
(ⅰ)證明：
＝2.
(ⅱ)問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
如圖，已知橢圓＝1(
a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(
＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；
(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
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＝0的距離為
＝3．
．
＝3．
＝1．
)
＋6kmx＋3(
)＝0．…………①
－4(
＋1)×3(
－1)＞0．
0．……………②
)、N(
)，MN的中點為B，
)．
．
)．
＞0，
＋1)(1－
)＞0．
|MN|．
，
＝
＝
，
＝1．
＝0，與題設(shè)k≠0矛盾．
＝0，①
＞0，
＞0，②
，MN的中點為B，
，
)．
．
，
＞0，
＞0，
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，則雙曲線
＝1的離心率為
