Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點(diǎn)．
（1）求

BN

的長(zhǎng)；
（2）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（3）求證A₁B⊥C₁M．

Answer 1

分析：由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由于BCA=90°，我們可以以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
（1）求出B點(diǎn)N點(diǎn)坐標(biāo)，代入空間兩點(diǎn)距離公式，即可得到答案；
（2）分別求出向量

BA1

，

CB1

的坐標(biāo)，然后代入兩個(gè)向量夾角余弦公式，即可得到cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（3）我們求出向量

BA1

，

C1M

的坐標(biāo)，然后代入向量數(shù)量積公式，判定兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為0，若成立，則表明A₁B⊥C₁M

解答：解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
（1）依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴|

BN

|=

(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2

=

3

（2分）
（2）依題意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B₁（0，1，2）．
∴

BA1

=(1，-1，2)，

CB1

=(0，1，2)，

BA1

•

CB1

=3，|

BA

1|=

6

，|

CB

1|=

5

（5分）
∴cos＜

BA1

•

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 |•| CB1 |

=

1

10

30

（9分）
（3）證明：依題意得C₁（0，0，2），M(

1

2

，

1

2

，2)

A1B

=（-1，1，-2），

C1M

=(

1

2

，

1

2

，0)，
∴

A1B

•

C1M

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
∴

A1B

⊥

C1M

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間向量及運(yùn)算的基本知識(shí)，空間中點(diǎn)、線、面的距離計(jì)算，空間兩點(diǎn)間距離公式，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，及直線方向向量的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．