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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,BCA=90°,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).
          (1)求
          BN
          的長;
          (2)求cos<
          BA1
          CB1
          >的值;
          (3)求證A1B⊥C1M.
          分析:由直三棱柱ABC-A1B1C1中,由于BCA=90°,我們可以以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
          (1)求出B點(diǎn)N點(diǎn)坐標(biāo),代入空間兩點(diǎn)距離公式,即可得到答案;
          (2)分別求出向量
          BA1
          ,
          CB1
          的坐標(biāo),然后代入兩個(gè)向量夾角余弦公式,即可得到cos<
          BA1
          ,
          CB1
          >的值;
          (3)我們求出向量
          BA1
          C1M
          的坐標(biāo),然后代入向量數(shù)量積公式,判定兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為0,若成立,則表明A1B⊥C1M
          解答:精英家教網(wǎng)解:如圖,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
          (1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),
          |
          BN
          |=
          (1-0)2+(0-1)2+(1-0)2
          =
          3
          (2分)
          (2)依題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
          BA1
          =(1,-1,2)
          CB1
          =(0,1,2)
          ,
          BA1
          CB1
          =3
          ,|
          BA
          1
          |=
          6
          |
          CB
          1
          |=
          5
          (5分)
          ∴cos<
          BA1
          CB1
          >=
          BA1
          CB1
          |
          BA1
          |•|
          CB1
          |
          =
          1
          10
          30
          (9分)
          (3)證明:依題意得C1(0,0,2),M(
          1
          2
          ,
          1
          2
          ,2)
          A1B
          =(-1,1,-2),
          C1M
          =(
          1
          2
          1
          2
          ,0)
          ,
          A1B
          C1M
          =-
          1
          2
          +
          1
          2
          +0=0

          A1B
          C1M
          (12分)
          點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間向量及運(yùn)算的基本知識(shí),空間中點(diǎn)、線、面的距離計(jì)算,空間兩點(diǎn)間距離公式,異面直線及其所成的角,其中建立空間坐標(biāo)系,確定各點(diǎn)坐標(biāo),及直線方向向量的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
          2
          ,側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)D,B1C1的中點(diǎn)為M,求證:CD⊥平面BDM.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D為A1C1的中點(diǎn),E為B1C的中點(diǎn).
          (1)求直線BE與A1C所成的角;
          (2)在線段AA1中上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
          AF
          |;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,M,N分別為AC,B1C1的中點(diǎn).
          (Ⅰ)求線段MN的長;
          (Ⅱ)求證:MN∥平面ABB1A1;
          (Ⅲ)線段CC1上是否存在點(diǎn)Q,使A1B⊥平面MNQ?說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:A1C1∥平面ACD;
          (Ⅱ)求異面直線AC與A1D所成角的大;
          (Ⅲ)證明:直線A1D⊥平面ADC.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案