Question

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

 （n∈N^*），用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式f（2ⁿ）＞

n

2

時(shí)，f（2^k+1）比f(wàn)（2^k）多的項(xiàng)數(shù)是

2^k

．

Answer 1

分析：利用f（2^k+1）-f（2^k）=

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

即可判斷出．

解答：解：∵f(2k)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

，f（2^k+1）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k-1

+

1

2k+2k

，
∴f（2^k+1）-f（2^k）=

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

，
∴用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式f（2ⁿ）＞

n

2

時(shí)，f（2^k+1）比f(wàn)（2^k）多的項(xiàng)數(shù)是2^k．
故答案為2^k．

點(diǎn)評(píng)：正確理解數(shù)學(xué)歸納法由歸納假設(shè)n=k到n=k+1增加的項(xiàng)數(shù)不一定是一項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．