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        1. (2013•汕頭一模)如圖.已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的長(zhǎng)軸為AB,過(guò)點(diǎn)B的直線l與x軸垂直,橢圓的離心率e=
          3
          2
          ,F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)且
          AF1
          F1B
          =1.
          (I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (II)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),PH⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ.連接AQ并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn),判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.
          分析:(I)寫出A,B,F(xiàn)1的坐標(biāo),進(jìn)而得到
          AF1
          ,
          F1B
          的坐標(biāo),代入
          AF1
          F1B
          =1并化簡(jiǎn)得b2=1,由e=
          3
          2
          ,得e2=
          c2
          a2
          =
          a2-1
          a2
          =
          3
          4
          ,解出得a2,從而得橢圓方程;
          (II)可根據(jù)圓心O到直線QN的距離d與圓的半徑的大小關(guān)系判斷:設(shè)P(x0,y0),則Q(x0,2y0)(x0≠±2),由點(diǎn)斜式寫出直線AQ方程,與直線BM方程聯(lián)立可得M坐標(biāo),進(jìn)而得N點(diǎn)坐標(biāo),由點(diǎn)斜式可得直線QN方程,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得圓心O到直線QN的距離,與半徑a比較即可,注意點(diǎn)P坐標(biāo)滿足橢圓方程;
          解答:解:(Ⅰ)易知A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)1(-c,0),
          AF1
          F1B
          =(a-c,0)•(a+c)=1
          ,∴a2-c2=b2=1,
          e=
          3
          2
          ,∴e2=
          c2
          a2
          =
          a2-1
          a2
          =
          3
          4
          ,解得a2=4,
          所求橢圓方程為:
          x2
          4
          +y2=1
          ;
          (Ⅱ)設(shè)P(x0,y0),則Q(x0,2y0)(x0≠±2),
          kAQ=
          2y0
          x0+2
          ,所以直線AQ方程:y=
          2y0
          x0+2
          (x+2)
          ,
          M(2,
          8y0
          x0+2
          )
          ,則N(2,
          4y0
          x0+2
          )
          ,
          kQN=
          4y0
          x0+2
          -2y0
          2-x0
          =
          2x0y0
          x02-4

          又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓方程,則x02+4y02=4,
          所以 x02-4=-4y02,∴kQN=
          2x0y0
          x02-4
          =
          2x0y0
          -4y02
          =-
          x0
          2y0

          ∴直線QN的方程:y-2y0=-
          x0
          2y0
          (x-x0)
          ,
          化簡(jiǎn)整理得到:x0x+2y0y=x02+4y02=4,即x0x+2y0y=4,
          所以點(diǎn)O到直線QN的距離d=
          4
          x02+4y02
          =2
          ,
          故直線QN與AB為直徑的圓O相切.
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線、橢圓方程及其位置關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,本題中動(dòng)點(diǎn)較多,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)應(yīng)盡量減少未知量的個(gè)數(shù).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•汕頭一模)已知函數(shù)f(x)=x2-lnx.
          (1)求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
          (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間:
          (3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-x2+ax,a>0,若x∈(O,e]時(shí),g(x)的最小值是3,求實(shí)數(shù)a的值.(e是為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•汕頭一模)廣東省汕頭市日前提出,要提升市民素質(zhì)和城市文明程度,促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速,努力實(shí)現(xiàn)“幸福汕頭”的共建共享.現(xiàn)隨機(jī)抽取50位市民,對(duì)他們的幸福指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如下分布表:
          幸福級(jí)別 非常幸福 幸福 不知道 不幸福
          幸福指數(shù)(分) 90 60 30 0
          人數(shù)(個(gè)) 19 21 7 3
          (I)求這50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)期望(即平均值);
          (11)以這50人為樣本的幸福指數(shù)來(lái)估計(jì)全市市民的總體幸福指數(shù),若從全市市民(人數(shù)很多)任選3人,記ξ表示抽到幸福級(jí)別為“非常幸;蛐腋!笔忻袢藬(shù).求ξ的分布列;
          (III)從這50位市民中,先隨機(jī)選一個(gè)人.記他的幸福指數(shù)為m,然后再隨機(jī)選另一個(gè)人,記他的幸福指數(shù)為n,求n<m+60的概率P.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•汕頭一模)若曲線y=
          x
          與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2.則正實(shí)數(shù)a=
          4
          9
          4
          9

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•汕頭一模)△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量
          m
          =(2sin
          A
          2
          ,
          3
          )
          ,
          n
          =(cosA,2cos2
          A
          4
          -1)
          ,且
          m
          n

          (I)求角A的大小;
          (II)若a=
          7
          且△ABC的面積為
          3
          3
          2
          ,求b十c的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•汕頭一模)已知函數(shù)f1(x)=e|x-a|,f2(x)=ebx
          (I)若f(x)=f1(x)+f2(x)-bf2(-x),是否存在a,b∈R,y=f(x)為偶函數(shù).如果存在.請(qǐng)舉例并證明你的結(jié)論,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
          〔II)若a=2,b=1.求函數(shù)g(x)=f1(x)+f2(x)在R上的單調(diào)區(qū)間;
          (III )對(duì)于給定的實(shí)數(shù)?x0∈[0,1],對(duì)?x∈[0,1],有|f1(x)-f2(x0)|<1成立.求a的取值范圍.

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