Question

（2013•汕頭一模）如圖．已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸為AB，過(guò)點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，橢圓的離心率e=

3

2

，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點(diǎn)且

AF1

•

F1B

=1．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ．連接AQ并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（I）寫出A，B，F(xiàn)₁的坐標(biāo)，進(jìn)而得到

AF1

，

F1B

的坐標(biāo)，代入

AF1

•

F1B

=1并化簡(jiǎn)得b²=1，由e=

3

2

，得e2=

c2

a2

=

a2-1

a2

=

3

4

，解出得a²，從而得橢圓方程；
（II）可根據(jù)圓心O到直線QN的距離d與圓的半徑的大小關(guān)系判斷：設(shè)P（x₀，y₀），則Q（x₀，2y₀）（x₀≠±2），由點(diǎn)斜式寫出直線AQ方程，與直線BM方程聯(lián)立可得M坐標(biāo)，進(jìn)而得N點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式可得直線QN方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得圓心O到直線QN的距離，與半徑a比較即可，注意點(diǎn)P坐標(biāo)滿足橢圓方程；

解答：解：（Ⅰ）易知A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)₁（-c，0），
∴

AF1

•

F1B

=(a-c，0)•(a+c)=1，∴a²-c²=b²=1，
又e=

3

2

，∴e2=

c2

a2

=

a2-1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
∴所求橢圓方程為：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（x₀，2y₀）（x₀≠±2），
∴kAQ=

2y0

x0+2

，所以直線AQ方程：y=

2y0

x0+2

(x+2)，
∴M(2，

8y0

x0+2

)，則N(2，

4y0

x0+2

)，
∴kQN=

4y0 x0+2 -2y0

2-x0

=

2x0y0

x02-4

，
又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則x02+4y02=4，
所以 x02-4=-4y02，∴kQN=

2x0y0

x02-4

=

2x0y0

-4y02

=-

x0

2y0

，
∴直線QN的方程：y-2y0=-

x0

2y0

(x-x0)，
化簡(jiǎn)整理得到：x0x+2y0y=x02+4y02=4，即x₀x+2y₀y=4，
所以點(diǎn)O到直線QN的距離d=

4

x02+4y02

=2，
故直線QN與AB為直徑的圓O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，本題中動(dòng)點(diǎn)較多，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)應(yīng)盡量減少未知量的個(gè)數(shù)．