已知拋物線的焦點(diǎn)為
,點(diǎn)
是拋物線上的一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)為4,
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ) 設(shè)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn),
的角平分線與
軸垂直,求
的面積最大時直線
的方程.
(Ⅰ)拋物線的方程為;(Ⅱ)所求直線
的方程為
.
解析試題分析:(Ⅰ)由拋物線定義可求出;(Ⅱ)由
的角平分線與
軸垂直,可知
的傾斜角互補(bǔ),即
的斜率互為相反數(shù),可設(shè)
的方程,利用設(shè)而不求的方法來求
的斜率為
,設(shè)直線
的方程
,利用玄長公式與點(diǎn)到直線距離公式得
的面積,由面積最大時來確定
,從而得直線
的方程.
試題解析:(Ⅰ)解:設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b7/7/1fsdi3.png" style="vertical-align:middle;" />,由拋物線的定義得
,又
,所以
,
因此,解得
,從而拋物線的方程為
;
(Ⅱ)由(1)知點(diǎn)的坐標(biāo)為
,設(shè)
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/0/xmsng2.png" style="vertical-align:middle;" />的角平分線與
軸垂直,所以可知
的傾斜角互補(bǔ),即
的斜率互為相反數(shù),設(shè)直線
的斜率為
,則
,由題意
,把
代入拋物線方程得
,該方程的解為4、
,由韋達(dá)定理得
,即
,同理
,所以
,
設(shè),把
代入拋物線方程得
,由題意
,且
,從而
,又
,所以
,點(diǎn)
到
的距離
,因此
,設(shè)
,
則,
,由
知
,所以
在
上為增函數(shù),因此
,即
面積的最大值為
.
的面積取最大值時
,所求直線
的方程為
.
考點(diǎn):1、求拋物線方程,2、直線與二次曲線的位置關(guān)系,3、利用導(dǎo)數(shù)求最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,過拋物線的對稱軸上任一點(diǎn)
作直線與拋物線交于
、
兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).
(1)設(shè),證明:
;
(2)設(shè)直線AB的方程是,過
、
兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知動圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,m) (m>0),且與直線y=-m相切,圓C被x軸截得弦長的最小值為1,記該圓的圓心的軌跡為E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)是否存在曲線C與曲線E的一個公共點(diǎn),使它們在該點(diǎn)處有相同的切線?若存在,求出切線方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)
的動直線
,與橢圓
:
(
)相交于
,
兩點(diǎn). 當(dāng)
軸時,
,當(dāng)
軸時,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若的中點(diǎn)為
,且
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的左頂點(diǎn)為
,
是橢圓
上異于點(diǎn)
的任意一點(diǎn),點(diǎn)
與點(diǎn)
關(guān)于點(diǎn)
對稱.
(Ⅰ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為
,求
的值;
(Ⅱ)若橢圓上存在點(diǎn)
,使得
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點(diǎn)且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
.點(diǎn)
、
在軌跡
上,且關(guān)于
軸對稱,過線段
(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線
,使直線
與軌跡
在點(diǎn)
處的切線平行,設(shè)直線
與軌跡
交于點(diǎn)
、
.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線
的距離等于
,且△
的面積為20,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的離心率
,
是其左右焦點(diǎn),點(diǎn)
是直線
(其中
)上一點(diǎn),且直線
的傾斜角為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若 是橢圓
上兩點(diǎn),滿足
,求
(
為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)
以及橢圓
的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓
上.
(1)求拋物線和橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線交拋物線
于
兩不同點(diǎn),交
軸于點(diǎn)
,已知
,則
是否為定值?若是,求出其值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓與直線
相交于
兩點(diǎn).
(1)若橢圓的半焦距,直線
與
圍成的矩形
的面積為8,
求橢圓的方程;
(2)若(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:
;
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率滿足
,求橢圓長軸長的取值范圍.
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