Question

如果△ABC外接圓半徑為R，且2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB，
（1）求角C的值
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)正弦定理把2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB中的角轉(zhuǎn)換成邊可得a，b和c的關(guān)系式，再代入余弦定理求得cosC的值，進(jìn)而可得C．
（2）根據(jù)三角形的面積公式求得三角形面積的表達(dá)式，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理后，根據(jù)角A的范圍求得面積的最大值

解答：解：（1）由2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB，
根據(jù)正弦定理得a²-c²=（

2

a-b）b=

2

ab-b²，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，
∴角C的大小為45°，
（2）∵S=

1

2

absinC=

1

2

×

2

2

ab
=

2

R²sinAsinB=

2

R²sinAsin（135°-A）
=

2

R²sinA（sin135°cosA-cos135°sinA）
=R²（sinAcosA+sin²A）
=R²•

1+sin2A-cos2A

2

=R²•

1+ 2 sin(2A- π 4 )

2

∴當(dāng)2A=135°，即A=67.5°時(shí)，Smax=

2 +1

2

R2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．解三角形問(wèn)題過(guò)程中常需要利用正弦定理和余弦定理完成邊角問(wèn)題的互化．