Question

對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集上的兩個(gè)函數(shù)，若存在一次函數(shù)使得，對(duì)任意的，都有，則把函數(shù)的圖像叫函數(shù)的“分界線”。現(xiàn)已知（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
（1）求的遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否存在過(guò)點(diǎn)的“分界線”？若存在，求出函數(shù)的解析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）①若，則，此時(shí)的遞增區(qū)間為；
②若，則或，此時(shí)的遞增區(qū)間為；
③若，則的遞增區(qū)間為；
④若，則或，此時(shí)的遞增區(qū)間為。
（2）存在函數(shù)的圖像是函數(shù)過(guò)點(diǎn)的“分界線”

解析試題分析：解：（1），
由得
①若，則，此時(shí)的遞增區(qū)間為；
②若，則或，此時(shí)的遞增區(qū)間為；
③若，則的遞增區(qū)間為；
④若，則或，此時(shí)的遞增區(qū)間為。
（2）當(dāng)時(shí)，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)恒成立，由得到對(duì)恒成立， 則，得，
下面證明對(duì)恒成立。
設(shè)，，，
且時(shí)，，，
時(shí)，，
所以，即對(duì)恒成立。
綜上，存在函數(shù)的圖像是函數(shù)過(guò)點(diǎn)的“分界線”。
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解函數(shù)單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用，屬于中檔題。