Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）無零點(diǎn)，則g（x）＞0對?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則g（x）必有兩個(gè)零點(diǎn)；
③若方程f（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則方程g（x）=0不可能無解
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：本題利用特殊法處理，根據(jù)已知條件，適當(dāng)取特殊函數(shù)一一驗(yàn)證：對于①，若取a=-1，b=

1

2

，c=-

1

2

，則f（x）=-x²+

1

2

x-

1

2

，無零點(diǎn)；
②如下圖，若f（x）（其圖象為黑色）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則g（x）（其圖象為紅色）沒有兩個(gè)零點(diǎn)；
③如下圖，若方程f（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根（其圖象為黑色），則方程g（x）=0（其圖象為紅色）可能無解．

解答：解：已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
對于①，若取a=-1，b=

1

2

，c=-

1

2

，則f（x）=-x²+

1

2

x-

1

2

，無零點(diǎn)，如圖，但g（x）＜0對?x∈R成立；故①錯(cuò)；
②如下圖，若f（x）（其圖象為黑色）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則g（x）（其圖象為紅色）沒有兩個(gè)零點(diǎn)；故錯(cuò)；
③如下圖，若方程f（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根（其圖象為黑色），則方程g（x）=0（其圖象為紅色）可能無解，故③錯(cuò)．
其中真命題的個(gè)數(shù)是0．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．