Question

數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，a₂=6，S₃=26．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列．設(shè)第n個等差數(shù)列的前n項和是A_n．求關(guān)于n的多項式g（n），使得A_n=g（n）d_n對任意n∈N₊恒成立；
（3）對于（2）中的數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個數(shù)列中是否存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)公比為q，由，a₂=6，S₃=26 可得 ，解得q=3，或 q=，再由q＞1可得q=3，∴a₁=2，a_n=2×3^n-1．
（2）由等差數(shù)列的通項公式可得 2×3ⁿ=2×3^n-1+（n+1）•d_n，∴d_n=，
∴A_n=n 2×3^n-1+=．
∵A_n=g（n）d_n對任意n∈N₊恒成立，∴g（n）=n²．
（3）對于（2）中的數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個數(shù)列中若存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則有 =d_m•d_p，即 =•，再由 2k=mp，解得 m=k=p，
這與d_m，d_k，d_p是不同的三項相矛盾，故不存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．
分析：（1）設(shè)公比為q，由，a₂=6，S₃=26 求得q=3，從而求得 a₁=2，由此求出等比數(shù)列的通項公式．
（2）由等差數(shù)列的通項公式求得 d_n=，利用等差數(shù)列的前n項和公式求得可得 A_n=，再由 A_n=g（n）d_n對任意n∈N₊恒成立，求得 g（n）．再由 =d_m•d_p，求得 m=k=p，這與d_m，d_k，d_p是不同的三項相矛盾，由此得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．