Question

已知

i

=(1，0)，

jn

=(cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)，

Pn

=(an，sin

nπ

2

)(n∈N+)，數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=1，an+2=(i+

jn

)•

Pn

．
（I）求證：數(shù)列{a_2k-1}是等差數(shù)；數(shù)列{a_2k}是等比數(shù)列；（其中k∈N^*）；
（II）記a_n=f（n），對任意的正整數(shù)n≥2，不等式（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由an+2=(

i

+

jn

)•

Pn

=(1+cos2

nπ

2

)an+sin

nπ

2

，知a_2k+1-a_2k-1=1．由此能夠證明數(shù)列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列．
（II）由a_2k-1=k，a_2k=2^k，知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*).

，由此能夠求出λ的取值范圍是[

5

8

，1]．

解答：解：（I）an+2=(

i

+

jn

)•

Pn

=[(1，0)+(cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)]•(an，sin

nπ

2

)=(1+cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)•(an，sin

nπ

2

)
=(1+cos2

nπ

2

)an+sin

nπ

2

，…（2分）
當n=2k-1（k∈N^*）時，
a2k+1=[1+cos2

(2k-1)π

2

]a2k-1+sin2

2k-1

2

π
=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數(shù)列{a_2k-1}是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，…（4分）當n=2k(k∈N*)時，a2k+2=(1+cos2

2kπ

2

)a2k+sin2

2kπ

2

=2a2k．
所以數(shù)列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，…（6分）
（II）由（I）可知：a_2k-1=k，a_2k=2^k．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*).

…（7分）
當n為奇數(shù)時，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≥

f(n2)

f(2n)

=

n2+1

2n+1

令g（n）=

n2+1

2n-1

⇒g(n+1)-g(n)=

2n-n2

2n

＜0⇒g（n+1）＜g（n）
所以g（n）為單調遞減函數(shù)，∴g（n）_max=g（3）=

5

8

⇒λ≥

5

8

…（10分）
當n為偶數(shù)時，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≤

f(n2)

f(2n)

=2

(n-1)2-1

2

令h(n)=2

(n-1)2-1

2

，顯然h（n）為單調遞增函數(shù)，
h（n）_min=h（2）=1⇒λ≤1
綜上，λ的取值范圍是[

5

8

，1]…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．