Question

多項式（1-2x）⁶（1+x）⁴展開式中，x最高次項為

 

，x³系數為

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出多項式的通項，令x的指數最大求出x的最高次項，令x的指數為3求出x³系數．

解答：解：（1-2x）⁶的展開式的通項為T_r+1=C₆^r（-2x）^r
（1+x）⁴的展開式的通項為T_k+1=C₄^kx^k
∴（1-2x）⁶（1+x）⁴的展開式的通項為（-2）^rC₆^rC₄^kx^k+r其中r=0，1，2，3，4，5，6；k=0，1，2，3，4
∴當r=6，k=4時（1-2x）⁶（1+x）⁴的展開式有x的最高次項為（-2）⁶x¹⁰=64x¹⁰
令r+k=3得

r=0 k=3

，

r=1 k=2

，

r=2 k=1

，

r=3 k=0

∴（1-2x）⁶（1+x）⁴的展開式的x³系數為C₆⁰C₄³-2C₆¹C₄²+4C₆²C₄¹-8C₆³C₄⁰=12
故答案為64x¹⁰；12

點評：本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．