Question

【題目】如圖，在三棱柱中， ，平面平面.

（1）求證： ；

（2）若，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）第（1）問，通過證明C1C⊥平面A1BC得到CC1⊥A1B． (2)第（2）問，以C為坐標原點，分別以的方向為x軸，y軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角A1-BC1-A的余弦值 .

試題解析：

（1）因為平面AA1C1C⊥平面ABC，交線為AC，又BC⊥AC，

所以BC⊥平面AA1C1C，

因為C1C平面AA1C1C，

從而有BC⊥C1C．

因為∠A1CC1＝90°，所以A1C⊥C1C，

又因為BC∩A1C＝C，

所以C1C⊥平面A1BC，

A1B平面A1BC，所以CC1⊥A1B．

（2）如圖，以C為坐標原點，分別以的方向為x軸，y軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz．

由∠A1CC1＝90°，AC＝AA1得A1C＝AA1．

不妨設BC＝AC＝AA1＝2，

則B(2，0，0)，C1(0，－1，1)，A(0，2，0)，A1(0，1，1)，

所以＝(0，－2，0)， ＝(－2，－1，1)， ＝(2，－2，0)，

設平面A1BC1的一個法向量為，

由·＝0， ·＝0，可取＝(1，0，2)．

設平面ABC1的一個法向量為，

由·＝0， ·＝0，可取＝(1，1，3)．

cos， ＝＝，

又因為二面角A1-BC1-A為銳二面角，

所以二面角A1-BC1-A的余弦值為．