Question

已知函數f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ） 證明：

1

2-f(2)

+

1

3-f(3)

+…+

1

n-f(n)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）．
參考數據：ln2≈0.6931．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值，必有f'（x）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f（x）=x-lnx，方程f（x）+2x=x²+b即為b=-x²+3x-lnx，只需g（x）=-x²+3x-lnx的圖象與y=b有兩個交點即可．
（Ⅲ）法一：取h（x）=x²-1-4lnx（x≥2）．利用導數得出h（x）在[2，+∞）上單調遞增．所以h（x）≥h（2）=3-4ln2＞0．構造

1

x-f(x)

=

1

lnx

＞

4

x2-1

=2(

1

x-1

-

1

x+1

)（x≥2）進行證明．
法二：設h（x）=x-1-2lnx（x≥4），得出h（x）在[4，+∞）上為增函數．通過h（x）≥h（4）=3-4ln2＞0．得出x-1＞2lnx（x≥4），即n²-1＞2lnn²=4lnn（n∈N，n≥2），構造出

1

lnn

＞

4

n2-1

=2(

1

n-1

-

1

n+1

)進行證明．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

x+a-1

x+a

=0的解為x=1，得到a=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f（x）=x-lnx，方程f（x）+2x=x²+b即為b=-x²+3x-lnx
令g（x）=-x²+3x-lnx，則g′(x)=-

(2x-1)(x-1)

x

，
則g（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上，g'（x）＞0，是增函數；
在區(qū)間（1，2]上，g'（x）＜0，是減函數．
又g(

1

2

)=

5

4

+ln2，g（1）=2，g（2）=2-ln2．所以b的取值范圍是[

5

4

+ln2，2)．
（Ⅲ）【法一】取h（x）=x²-1-4lnx（x≥2）．
則h′(x)=

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

＞0（x≥2）．
所以h（x）在[2，+∞）上單調遞增．所以h（x）≥h（2）=3-4ln2＞0．
所以x²-1-4lnx＞0（x≥2），即

1

lnx

＞

4

x2-1

=2(

1

x-1

-

1

x+1

)（x≥2）．
所以

1

lnk

＞2(

1

k-1

-

1

k+1

)（k∈N，k≥2）．
所以

n

k=2

1

k-f(k)

=

n

k=2

1

lnk

=

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞2(1-

1

3

)+2(

1

2

-

1

4

)+2(

1

3

-

1

5

)+2(

1

4

-

1

6

)+…+2(

1

n-2

-

1

n

)+2(

1

n-1

-

1

n+1

)=2[(1+

1

2

)-(

1

n

+

1

n+1

)]=

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）．
【法二】設h（x）=x-1-2lnx（x≥4），
則h′(x)=1-

2

x

=

x2-2

x

＞0．所以h（x）在[4，+∞）上為增函數．
所以h（x）≥h（4）=3-4ln2＞0．所以x-1＞2lnx（x≥4），
即n²-1＞2lnn²=4lnn（n∈N，n≥2），所以

1

lnn

＞

4

n2-1

=2(

1

n-1

-

1

n+1

)．
（以下同法一）

點評：本題考查函數與導數，不等式的證明．考查構造、計算、轉化能力．