Question

（2007•揭陽二模）如圖（1）示，定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)?x∈D，?常數(shù)A，都有f（x）≥A成立，則稱函數(shù)f（x）在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界．（提示：圖（1）、（2）中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零）  

（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x³+

48

x

在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）又如具有如圖（2）特征的函數(shù)稱為在D上有上界．請(qǐng)你類比函數(shù)有下界的定義，給出函數(shù)f（x）在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數(shù)在（-∞，0）上是否有上界？并說明理由；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在D上既有上界又有下界，則稱函數(shù)f（x）在D上有界，函數(shù)f（x）叫做有界函數(shù)．試探究函數(shù)f（x）=ax³+

b

x

（a＞0，b＞0a，b是常數(shù)）是否是[m，n]（m＞0，n＞0，m、n是常數(shù)）上的有界函數(shù)？

Answer 1

分析：（I）函數(shù)f（x）=x³+

48

x

在（0，+∞）上有下界32．利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式求極小值能夠進(jìn)行判斷．
（Ⅱ）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以這樣定義：定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)?x∈D，?常數(shù)B，都有f（x）≤B成立，則稱函數(shù)f（x）在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界．利用函數(shù)f(x)=x3+

48

x

在（-∞，0）上有下界及其奇偶性即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）求導(dǎo)f′(x)=3ax2-

b

x2

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再對(duì)字母m的值進(jìn)行分類討論，即可得到函數(shù)f(x)=ax3+

b

x

是[m，n]上的有界函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）
解法1：∵f′(x)=3x2-

48

x2

，由f'（x）=0得3x2-

48

x2

=0，x⁴=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-----------------------------（2分）
∵當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，2）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)；
∴x=2是函數(shù)的在區(qū)間（0，+∞）上的最小值點(diǎn)，f(x)min=f(2)=8+

48

2

=32
∴對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，------------------------------------（4分）
即在區(qū)間（0，+∞）上存在常數(shù)A=32，使得對(duì)?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函數(shù)f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界．-----------------------------（5分）
[解法2：∵x＞0∴f(x)=x3+

48

x

=x3+

16

x

+

16

x

+

16

x

≥4

4	x3• 16 x • 16 x • 16 x

=32
當(dāng)且僅當(dāng)x3=

16

x

即x=2時(shí)“=”成立
∴對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在區(qū)間（0，+∞）上存在常數(shù)A=32，使得對(duì)?x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函數(shù)f(x)=x3+

48

x

在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以這樣定義：
定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)?x∈D，?常數(shù)B，都有f（x）≤B成立，則稱函數(shù)f（x）在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界．------------------------------（7分）
設(shè)x＜0，則-x＞0，由（Ⅰ）知，對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函數(shù)f(x)=x3+

48

x

為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32
即存在常數(shù)B=-32，對(duì)?x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函數(shù)f(x)=x3+

48

x

在（-∞，0）上有上界．----------------------------（9分）
（Ⅲ）∵f′(x)=3ax2-

b

x2

，
由f'（x）=0得3ax2-

b

x2

=0，∵a＞0，b＞0
∴x4=

b

3a

，∵[m，n]?（0，+∞），∴x=

4	b 3a

，--------------------------------（10分）
∵當(dāng)0＜x＜

4	b 3a

時(shí)，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，

4	b 3a

）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞

4	b 3a

時(shí)，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（

4	b 3a

，+∞）上是增函數(shù)；
∴x=

4	b 3a

是函數(shù)的在區(qū)間（0，+∞）上的最小值點(diǎn)，f(

4	b 3a

)=a(

4	b 3a

)3+

b

4 b 3a

=

4

3

4	3ab3

------------------------------（11分）
①當(dāng)m≥

4	b 3a

時(shí)，函數(shù)f（x）在[m，n]上是增函數(shù)；
∴f（m）≤f（x）≤f（n）
∵m、n是常數(shù)，∴f（m）、f（n）都是常數(shù)
令f（m）=A，f（n）=B，
∴對(duì)?x∈[m，n]，?常數(shù)A，B，都有A≤f（x）≤B
即函數(shù)f(x)=ax3+

b

x

在[m，n]上既有上界又有下界-------------------------（12分）
②當(dāng) n≤

4	b 3a

時(shí)函數(shù)f（x）在[m，n]上是減函數(shù)
∴對(duì)?x∈[m，n]都有f（n）≤f（x）≤f（m）
∴函數(shù)f(x)=ax3+

b

x

在[m，n]上有界．-------------------------（13分）
③當(dāng)m＜

4	b 3a

＜n時(shí)，函數(shù)f（x）在[m，n]上有最小值f（x）_min=f(

4	b 3a

)=a(

4	b 3a

)3+

b

4 b 3a

=

4

3

4	3ab3

令A=

4

3

4	3ab3

，令B=f（m）、f（n）中的最大者
則對(duì)?x∈[m，n]，?常數(shù)A，B，都有A≤f（x）≤B
∴函數(shù)f(x)=ax3+

b

x

在[m，n]上有界．
綜上可知函數(shù)f(x)=ax3+

b

x

是[m，n]上的有界函數(shù)--------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．