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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          設直線y=kx+1與圓C:x2+y2-2kx-2my-7=0交于M,N兩點,且M,N關于直線x+y=0對稱,
          (Ⅰ)求m,k的值;
          (Ⅱ)若直線x=ay+1與C交P,Q兩點,是否存在實數a使得OP⊥OQ,如果存在,求出a的值;如果不存在,請說明理由.
          分析:(Ⅰ)由M,N關于直線x+y=0對稱,可知所求的直線的斜率k=1,根據圓的性質可得直線y+x=0過圓的圓心C(1,m)代入可求m
          (Ⅱ)把x=ay+1代入(x-1)2+(y+1)2=9得(1+a2)y2+2y-8=0,設P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=
          -2
          1+a2
          ,y1y2=
          -8
          1+a2
          ,若OP⊥OQ,則有x1x2+y1y2=0,代入整理可求
          解答:解:(Ⅰ)由M,N關于直線x+y=0對稱,可知所求的直線的斜率k=1
          ∵根據圓的性質可得直線y+x=0過圓的圓心C(1,m)
          ∴m=-1
          (Ⅱ)把x=ay+1代入(x-1)2+(y+1)2=9得(1+a2)y2+2y-8=0
          設P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=
          -2
          1+a2
          ,y1y2=
          -8
          1+a2

          若OP⊥OQ,則有x1x2+y1y2=(ay1+1)(ay2+1)+y1y2=(1+a2)y1y2+a(y1+y2)+1=-8+
          -2a
          1+a2
          +1=0

          即7a2+2a+7=0,方程無實數根,所以滿足條件的實數a不存在.
          點評:本題主要考查了直線與圓的方程的性質的應用,解(I)的關鍵是根據圓的性質可得直線x+y=0過圓心的條件,而
          (II)是直線與圓的一般類型的試題,體現了方程的思想的應用.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          在平面直角坐標系xoy中,動點P到定點(0,
          3
          )距離與到定直線:y=
          4
          3
          3
          的距離之比為
          3
          2
          .設動點P的軌跡為C.
          (1)寫出C的方程;
          (2)設直線y=kx+1與交于A,B兩點,當|
          AB
          |=
          8
          2
          5
          時,求實數k
          的值.
          (3)若點A在第一象限,證明:當k>0時,恒有|
          OA
          |>|
          OB
          |.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          在平面直角坐標系xOy中,點P到兩點(0,-
          3
          )
          ,(0,
          3
          )
          的距離之和等于4,設點P的軌跡為C.
          (Ⅰ)寫出C的方程;
          (Ⅱ)設直線y=kx+1與C交于A,B兩點.k為何值時
          OA
          OB
          ?此時|
          AB
          |
          的值是多少?.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          設x、y∈R,在直角坐標平面內,
          a
          =(x,y+
          3
          )
          ,
          b
          =(x,y-
          3
          )
          |
          a
          |+|
          b
          |=4
          .設點M(x,y)的軌跡為C.
          (Ⅰ)求C的方程;
          (Ⅱ)設直線y=kx+1與C交于A、B兩點,k為何值時
          OA
          OB
          ?
          此時|
          AB
          |的值是多少?

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知雙曲線C:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)的離心率為
          2
          ,焦點到漸近線的距離為1.
          (1)求雙曲線的方程;
          (2)設直線y=kx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點,求k的取值范圍;
          (3)若另一條直線l經過點P(-2,0)及線段AB的中點,求直線l在y軸上的截距b0的取值范圍.

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