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        1. 已知0<b<1+a,記關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集為M.
          (1)若集合M中的整數(shù)有無限個,求a的范圍;
          (2)若集合M中的整數(shù)恰有3個,求證:1<a<3.

          解:(1)由(x-b)2>(ax)2 得[(1+a)x-b][(1-a)x-b]>0,由于0<b<1+a,
          ①若1-a=0,即a=1時,不等式化為(2x-b)(-b)>0,
          解得M={x|x< },顯然M中的整數(shù)有無限個,符合條件.
          ②1-a≠0,即a≠1時,若要有無數(shù)個整數(shù)解,則應(yīng)1-a>0,即a<1;
          再由已知條件0<b<1+a,可得a>-1.
          綜上可知-1<a≤1.
          (2)由(1)知1-a<0,即a>1時,x的解在兩個實數(shù)之間,不等式即(x-)(x-)<0,
          又可得,所以集合M=
          若要M中的整數(shù)恰有3個,則
          所以,,解得a<3.
          綜上可知1<a<3.
          分析:(1)由題意可得①若1-a=0,M={x|x< },顯然M中的整數(shù)有無限個,符合條件.②1-a≠0,若要有無數(shù)個整數(shù)解,則應(yīng)1-a>0,即a<1,再由已知0<b<1+a,得到a的范圍.
          (2)由(1)知1-a<0,即a>1時,x的解在兩個實數(shù)之間,集合M=,若要M中的整數(shù)恰有3個,則,從而得到,求得a<3,進而得到命題成立.
          點評:本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)若集合M中的整數(shù)有無限個,求a的范圍;
          (2)若集合M中的整數(shù)恰有3個,求證:1<a<3.

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          已知0<b<1+a,若關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個,則(     )

                 A.-1<a<0        B.0<a<1          C.1<a<3              D.3<a<6

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

          已知0<b<1+a,若關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個,則


          1. A.
            -1<a<0
          2. B.
            0<a<1
          3. C.
            1<a<3
          4. D.
            3<a<6

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省金華一中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知0<b<1+a,記關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集為M.
          (1)若集合M中的整數(shù)有無限個,求a的范圍;
          (2)若集合M中的整數(shù)恰有3個,求證:1<a<3.

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