Question

（2012•湖北模擬）已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）（m＞0）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線

x2

a2

-y2=1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則正實(shí)數(shù)a的值為

1

3

．

Answer 1

分析：先利用拋物線定義，計(jì)算拋物線方程和m的值，在求出雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，最后利用兩直線平行的充要條件列方程即可解得a的值

解答：解：利用拋物線的定義，點(diǎn)M（1，m）到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線x=-

p

2

的距離，即1+

p

2

=5，解得p=8
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=16x，令x=1，得m=4，即M（1，4）
∵雙曲線

x2

a2

-y2=1，的左頂點(diǎn)為A（-a，0），漸近線方程為y=±

1

a

x
依題意，AM的斜率為k=

4

1+a

＞0，
∴

4

1+a

=

1

a

解得正實(shí)數(shù)a的值為

1

3

故答案為

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，屬基礎(chǔ)題