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        1. 已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:
          (1)對(duì)于任意x∈(0,1),總有f(x)>0;
          (2)f(1)=1;
          (3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2);
          (Ⅰ)證明f(x)在[0,1]上為增函數(shù);
          (Ⅱ)若對(duì)于任意x∈[0,1],總有4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅲ)比較f(
          1
          22
          +
          2
          23
          +…+
          n
          2n+1
          )
          與1的大小,并給與證明.
          分析:(Ⅰ)設(shè)0≤x1<x2≤1,由f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1),結(jié)合對(duì)于任意x∈(0,1),總有f(x)>0及函數(shù)單調(diào)性的定義,可判斷f(x)在[0,1]上為增函數(shù);
          (Ⅱ)由(I)中函數(shù)的單調(diào)性,可得f(x)≤f(1)=1,進(jìn)而分f(x)=1,和f(x)<1兩種情況討論實(shí)數(shù)a的取值范圍,最后綜合討論結(jié)果,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          (Ⅲ)Sn=
          1
          22
          +
          2
          23
          +
          3
          24
          +…+
          n
          2n+1
          ,利用錯(cuò)位相減法,可求出Sn的表達(dá)式,判斷出Sn與1的大小,進(jìn)而結(jié)合(I)中所得函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)論.
          解答:證明:(Ⅰ)設(shè)0≤x1<x2≤1,則x2-x1∈(0,1)
          ∴f(x2-x1)>0
          ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0
          即f(x2)>f(x1
          故f(x)在[0,1]上是單調(diào)遞增的
          解:(Ⅱ)因f(x)在x∈[0,1]上是增函數(shù),則f(x)≤f(1)=1⇒1-f(x)≥0,
          當(dāng)f(x)≤f(1)=1時(shí),容易驗(yàn)證不等式成立;
          當(dāng)f(x)<1時(shí),則
          4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤
          4f2(x)-8f(x)+5
          4-4f(x)
          對(duì)x∈[0,1]恒成立,
          設(shè)y=
          4f2(x)-8f(x)+5
          4-4f(x)
          =1-f(x)+
          1
          4[1-f(x)]
          ≥1
          ,從而則a≤1
          綜上,所求為a∈(-∞,1];
          (Ⅲ)令Sn=
          1
          22
          +
          2
          23
          +
          3
          24
          +…+
          n
          2n+1
          ----------①,
          1
          2
          Sn
          =
          1
          23
          +
          2
          24
          +
          3
          25
          +…+
          n
          2n+2
          --------------②,
          由①-②得,
          1
          2
          Sn
          =
          1
          22
          +
          1
          23
          +
          1
          24
          +…+
          1
          2n+1
          -
          n
          2n+2
          ,即,Sn=
          1
          2 
          +
          1
          22
          +
          1
          23
          +…+
          1
          2n
          -
          n
          2n+1
          =1-
          1
          2n
          -
          n
          2n+1
          <1

          所以f(
          1
          22
          +
          2
          23
          +…+
          n
          2n+1
          )<f(1)=1
          點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性與證明,函數(shù)恒成立問題,不等式比較大小,是函數(shù),不等式與數(shù)列的綜合應(yīng)用,難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:
          ①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
          ②f(1)=1;
          ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
          (1)求f(0)的值;
          (2)求f(x)的最大值;
          (3)若對(duì)于任意x∈[0,1],總有4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
          ①對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; 
          ②f(1)=1;
          ③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,并且稱f(x)為“友誼函數(shù)”,
          請(qǐng)解答下列各題:
          (1)若已知f(x)為“友誼函數(shù)”,求f(0)的值;
          (2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.
          (3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,且 0≤x1<x2≤1,求證:f(x1)≤f(x2).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:
          ①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
          ②f(1)=1;
          ③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f (x1+x2)≥f (x1)+f (x2).
          (1)試求f(0)的值;
          (2)試求函數(shù)f(x)的最大值;
          (3)試證明:當(dāng)x∈(
          1
          2n
          1
          2n-1
          ]
          ,n∈N+時(shí),f(x)<2x.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①對(duì)任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
          (1)求f(0)的值;
          (2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否同時(shí)適合①②③?并予以證明;
          (3)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求證:f(x0)=x0

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f (x)同時(shí)滿足:
          ①對(duì)于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
          ②f(1)=1;
          ③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
          (1)試求f(0)的值;
          (2)試求函數(shù)f (x)的最大值;
          (3)試證明:當(dāng)x∈(
          1
          4
          ,
          1
          2
          ]
          時(shí),f(x)<2x.

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