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        1. 已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且對任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且當(dāng)x>0時,f(x)<0恒成立.
          (1)證明函數(shù)y=f(x)是R上的單調(diào)性;
          (2)討論函數(shù)y=f(x)的奇偶性;
          (3)若f(x2-2)+f(x)<0,求x的取值范圍.
          分析:(1)設(shè)x1>x2,則x1-x2>0,利用f(a+b)=f(a)+f(b)可求得f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),又當(dāng)x>0時,f(x)<0,從而得f(x1)<f(x2),可證明函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞減;
          (2)由f(a+b)=f(a)+f(b)⇒f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,從而可知函數(shù)y=f(x)的奇偶性;
          (3)(方法一)由f(x2-2)+f(x)<0得f(x2-2)<-f(x)=f(-x),利用y=f(x)在R上單調(diào)遞減即可求得x的取值范圍;
          (方法二))由f(x2-2)+f(x)<0且f(0)=0得f(x2-2+x)<f(0),同理可得x的取值范圍.
          解答:(1)證明:設(shè)x1>x2,則x1-x2>0,而f(a+b)=f(a)+f(b)
          ∴f(x1)-f(x2)=f((x1-x2)+x2)-f(x2
          =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2
          =f(x1-x2),
          又當(dāng)x>0時,f(x)<0恒成立,
          ∴f(x1)<f(x2),
          ∴函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù);
          (2)由f(a+b)=f(a)+f(b),
          得f(x-x)=f(x)+f(-x),
          即f(x)+f(-x)=f(0),而f(0)=0,
          ∴f(-x)=-f(x),
          即函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).
          (3)(方法一)由f(x2-2)+f(x)<0,
          得f(x2-2)<-f(x),
          又y=f(x)是奇函數(shù),
          即f(x2-2)<f(-x),
          又y=f(x)在R上是減函數(shù),
          ∴x2-2>-x解得x>1或x<-2.
          (方法二))由f(x2-2)+f(x)<0且f(0)=0,
          得f(x2-2+x)<f(0),
          又y=f(x)在R上是減函數(shù),
          ∴x2-2+x>0,
          解得x>1或x<-2.
          點評:本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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