Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）求過點P(3，

5

-2)且與圓C相切的直線；
（Ⅱ）是否存在斜率為1的直線m，使得以m被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判斷點P(3，

5

-2)在圓C上，求出切線的斜率，再用點斜式求得相切方程，再化為一般式．
（Ⅱ）設(shè)這樣的直線存在，其方程為y=x+b，代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂，x₁•x₂的值，進而求得y₁•y₂的值．根據(jù)OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，求得b=1，或b=-4，從而得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因為32+(

5

-2)2-2×3+4(

5

-2)-4=0，所以，點P在圓上．   …（2分）
又因為圓心C（1，-2）所以 kCP=

5

2

，…（3分）
所以切線斜率k=-

2

5

=

-2 5

5

，…（4分）
所以方程為y-(

5

-2)=-

2 5

5

(x-3)，即2x+

5

y-11+2

5

=0．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)這樣的直線存在，其方程為y=x+b，它與圓C的交點設(shè)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由

x2+y2-2x+4y-4=0 y=x+b

 可得2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0（*），…（7分）
∴

x1+x2=-(b+1) x1•x2= b2+4b-4 2

．…（9分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2．…（10分）
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
即b²+4b-4-b（b+1）+b²=0，b²+3b-4=0，∴b=1，或b=-4．…（12分）
容易驗證b=1或b=-4時方程（*）有實根．
故存在這樣的直線，有兩條，其方程是y=x+1，或y=x-4．…（14分）

點評：本題主要考查求圓的切線方程，直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．