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        1. (2012•湖南)某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為K(K為正整數(shù)).
          (1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時間;
          (2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工,試確定正整數(shù)K的值,使完成訂單任務(wù)的時間最短,并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案.
          分析:(1)設(shè)完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時間分別為T1(x),T2(x),T3(x),則可得T1(x)=
          2×3000
          6x
          =
          1000
          x
          ,T2(x)=
          2000
          kx
          T3(x)=
          1500
          200-(1+k)x
          ;
          (2)完成訂單任務(wù)的時間為f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定義域為{x|0<x<
          200
          1+k
          ,x∈N+}
          ,可得T1(x),T2(x)為減函數(shù),T3(x)為增函數(shù),T2(x)=
          2
          k
          T1(x),分類討論:①當(dāng)k=2時,T2(x)=T1(x),f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{
          1000
          x
          ,
          1500
          200-3x
          },利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間;②當(dāng)k≥3時,T2(x)<T1(x),T3(x)=
          1500
          200-(1+k)x
          375
          50-x
          T (x)=
          375
          50-x
          ,為增函數(shù),φ(x)=max{T1(x),T(x)}f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=max{
          1000
          x
          375
          50-x
          },利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間;③當(dāng)k<2時,k=1,f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{
          2000
          x
          ,
          750
          100-x
          },利用基本不等式求出完成訂單任務(wù)的最短時間,從而問題得解.
          解答:解:(1)設(shè)寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時間分別為T1(x),T2(x),T3(x)
          T1(x)=
          2×3000
          6x
          =
          1000
          x
          ,T2(x)=
          2000
          kx
          T3(x)=
          1500
          200-(1+k)x

          其中x,kx,200-(1+k)x均為1到200之間的正整數(shù)
          (2)完成訂單任務(wù)的時間為f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定義域為{x|0<x<
          200
          1+k
          ,x∈N+}

          ∴T1(x),T2(x)為減函數(shù),T3(x)為增函數(shù),T2(x)=
          2
          k
          T1(x)
          ①當(dāng)k=2時,T2(x)=T1(x),f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{
          1000
          x
          1500
          200-3x
          }
          ∵T1(x),T3(x)為增函數(shù),∴當(dāng)
          1000
          x
          =
          1500
          200-3x
          時,f(x)取得最小值,此時x=
          400
          9

          44<
          400
          9
          <45
          f(44)=T1(44)=
          250
          11
          ,f(45)=T3(45)=
          300
          13
          ,f(44)<f(45)
          ∴x=44時,完成訂單任務(wù)的時間最短,時間最短為f(44)=
          250
          11

          ②當(dāng)k≥3時,T2(x)<T1(x),T3(x)=
          1500
          200-(1+k)x
          375
          50-x

          T (x)=
          375
          50-x
          ,為增函數(shù),φ(x)=max{T1(x),T(x)}
          f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=max{
          1000
          x
          ,
          375
          50-x
          }
          ∵T1(x)為減函數(shù),T(x)為增函數(shù),∴當(dāng)
          1000
          x
          =
          375
          50-x
          時,φ(x)取得最小值,此時x=
          400
          11

          36<
          400
          11
          <37
          ,φ(36)=T1(36)=
          250
          9
          250
          11
          ,φ(37)=T (37)=
          375
          13
          250
          11

          ∴完成訂單任務(wù)的時間大于
          250
          11

          ③當(dāng)k<2時,k=1,f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{
          2000
          x
          ,
          750
          100-x
          }
          ∵T2(x)為減函數(shù),T3(x)為增函數(shù),∴當(dāng)
          2000
          x
          =
          750
          100-x
          時,φ(x)取得最小值,此時x=
          800
          11

          類似①的討論,此時完成訂單任務(wù)的時間為
          250
          9
          ,大于
          250
          11

          綜上所述,當(dāng)k=2時,完成訂單任務(wù)的時間最短,此時,生產(chǎn)A,B,C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.
          點評:本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,解題的關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn),有難度.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•湖南)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元,將其投入生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計以后每年年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.
          (Ⅰ)用d表示a1,a2,并寫出an+1與an的關(guān)系式;
          (Ⅱ)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•湖南)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•湖南)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.
          一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上
          顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10
          結(jié)算時間(分鐘/人 1 1.5 2 2.5 3
          已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.
          (Ⅰ)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值;
          (Ⅱ)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•湖南)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.
          一次性購物量 1至4件 5 至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
          顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10
          結(jié)算時間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3
          已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.
          (Ⅰ)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
          (Ⅱ)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨立,求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率)

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