Question

過(guò)點(diǎn)M（2，4）作兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別交x軸y軸的正半軸于A、B，若四邊形OAMB的面積被直線(xiàn)AB平分，求直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

分析：設(shè)A（a，0）、B（0，b）．得到直線(xiàn)AB，由題知MA⊥MB即直線(xiàn)MA與直線(xiàn)MB的斜率乘積為-1，得到a與b的關(guān)系式；又因?yàn)樗倪呅蜲AMB的面積被直線(xiàn)AB平分得到M到直線(xiàn)AB與O到直線(xiàn)AB的距離相等得到a與b的關(guān)系式，兩者聯(lián)立求出a和b即可得到直線(xiàn)AB的方程．

解答：解：由題意，設(shè)A（a，0）、B（0，b）．則直線(xiàn)AB方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵M(jìn)A⊥MB，∴

4-0

2-a

×

4-b

2-0

=-1，化簡(jiǎn)得a=10-2b．
∵a＞0，∴0＜b＜5．直線(xiàn)AB的一般式方程為bx+ay-ab=0
∴點(diǎn)M（2，4）到直線(xiàn)AB的距離為d₁=

|2b+4a-ab|

a2+b2

．
又∵O點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為d₂=

|-ab|

a2+b2

，∵四邊形OAMB的面積被直線(xiàn)AB平分，
∴d₁=d₂，∴2b+4a-ab=±ab．
又∵a=10-2b．
解得

a=2 b=4

或

a=5 b= 5 2

，
∴所求直線(xiàn)為2x+y-4=0或x+2y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解兩直線(xiàn)垂直時(shí)條件的能力，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的能力，能寫(xiě)出直線(xiàn)的一般式．