Question

曲線C上任一點到點，的距離的和為12， C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A、B兩點，點P在C上，且位于x軸上方，．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）求點P的坐標；

（Ⅲ）以曲線C的中心為圓心，AB為直徑作圓O，過點P的直線l截圓O的弦MN長為，求直線l的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）所求的直線l的方程為或

【解析】（Ⅰ）設G是曲線C上任一點，依題意，

∴曲線C是以E、F為焦點的橢圓，且橢圓的長半軸a=6，半焦距c=4，

∴短半軸b=，

∴所求的橢圓方程為；

（Ⅱ）由已知,，設點P的坐標為，則

由已知得

則，解之得，

由于，所以只能取，于是，

所以點P的坐標為；

（Ⅲ）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為，

若過P的直線l與x軸垂直，則直線l的方程為，這時，圓心到l的距離，

∴，符合題意；

若過P的直線l不與x軸垂直，設其斜率為k，則直線l的方程為，

即，這時，圓心到l的距離 

∴，

化簡得，，∴，

∴直線l的方程為，

綜上，所求的直線l的方程為或