Question

已知冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（II）若在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（III）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/9/1xu4r3.gif" style="vertical-align:middle;" />. 若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

解:（Ⅰ）由題意知 解得        
又  ∴或，分別代入原函數(shù)得.
（II）由已知得.                    
要使函數(shù)不單調(diào)，則，則.
（III）由已知，
法一：假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意，則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，其對(duì)稱軸為
因而，函數(shù)在上的最小值只能在或處取得
又，從而必有
解得
此時(shí)，，其對(duì)稱軸
∴在上的最大值為符合題意．
法二： 由(1)知，假設(shè)存在這樣的正數(shù)，符合題意，則函數(shù)
的圖象是開口向下的拋物線，其對(duì)稱軸為 ，  
（1）當(dāng)，且，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
 ，則與矛盾，故不可能；               
（2）當(dāng)，且，即時(shí)，有
得或（舍去）.
所以 ，此時(shí)，，符合題意
綜上所述，存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b0/9/1xu4r3.gif" style="vertical-align:middle;" />

解析