Question

（2009•長(zhǎng)寧區(qū)二模）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，
求：（1）直線(xiàn)A₁D與平面EFD₁B₁所成角的大��；（2）二面角B-B₁E-F的大小．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長(zhǎng)為2，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EFD₁B₁  的一個(gè)法向量，再求線(xiàn)A₁D 的一個(gè)方向向量，進(jìn)而利用夾角公式求解；
（2）因?yàn)槠矫鍮B₁E 垂直于y 軸，所以可求平面BB₁E 的一個(gè)法向量，進(jìn)而利用夾角公式求解，需主要判斷夾角是鈍角還是銳角；

解答：解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長(zhǎng)為2，建立空間直角坐標(biāo)系，A₁（2，0，0），D（0，0，2），D₁（0，0，0），B₁（2，2，0），F(xiàn)（0，1，2），于是

D1F

=(0，1，2)，

D1B1

=(2，2，0)，

A1D

=(-2，0，2)．
（1）設(shè)

n1

=(u，v，w)是平面EFD₁B₁  的一個(gè)法向量，
∵

n1

⊥

D1F

，

n1

⊥

D1B1

，
∴

n1

?

D1F

=v+2w=0，

n1

?

D1B1

=2(u+v)=0，
解得u=-v，w=-

v

2

．取v=-2，
∴

n1

=(2，-2，1)．
由

A1D

=(-2，0，2) 知直線(xiàn)A₁D 的一個(gè)方向向量為

d

=(-1，0，1)．
設(shè)直線(xiàn)A₁D 與平面EFD₁B₁ 所成角為θ，

d

與

n1

所成角為?，則cos?=

d ? n1

| d || n1 |

=-

2

6

，
因sinθ=|cos?|=

2

6

，即直線(xiàn)A₁D 與平面EFD₁B₁ 所成角為arcsin

2

6

．
（2）因?yàn)槠矫鍮B₁E 垂直于y 軸，所以平面BB₁E 的一個(gè)法向量為

n2

=(0，1，0)，
設(shè)

n1

與

n2

的夾角為?，則cos?=

n1 ? n2

| n1 || n2 |

=-

2

3

，
結(jié)合圖可判斷所求二面角B-B₁E-F 是鈍角，大小為π-arccos

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是用空間向量求平面的夾角．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到線(xiàn)面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系，也有利于建立坐標(biāo)系，利用向量解決空間角、空間距離等問(wèn)題．