Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD
（I）求證：平面PAD⊥平面PCD
（II）試在平面PCD上確定一點 E 的位置，使|

AE

|最小，并說明理由；
（III）當AD=AB時，求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由ABCD的底面是矩形，知CD⊥AD，由側面PAD⊥底面ABCD，知CD⊥平面PAD，由此能夠證明平面PAD⊥平面PCD．
（II）設E為PD中點，連 AE，由△PAD為正三角形得AE⊥PD．由平面PAD⊥平面 PCD，知AE⊥平面PCD．由此能夠在平面PCD上確定一點E的位置，使|

AE

|最小．
（III）過E作EG⊥PC，垂足為G，連AG，由AE⊥平面PCD，知AG⊥PC，所以∠AGE是二面角A-PC-D的平面角．由此能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答：解：（I） 證：∵ABCD的底面是矩形，
∴CD⊥AD，
∵側面PAD⊥底面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（II）解：設 E 為PD中點，連 AE（5分）
由△PAD為正三角形得 AE⊥PD（6分）
又平面PAD⊥平面 PCD
∴AE⊥平面PCD（7分）
由幾何意義知，PD中點 E，
即為平面PCD上使|

AE

|最小的唯一點．（8分）
（III）解：過E作EG⊥PC，垂足為G，連AG，（9分）
由 （II） 知AE⊥平面PCD，
∴AG⊥PC（10分）
∴∠AGE是二面角A-PC-D的平面角．（11分）
設底面正方形邊長為2a，
∴AD=2a，ED=a，
∴AE=

3

a
由 

EG

2a

=

a

2 2 a

，
∴EG=

a

2

（12分）
tan∠AGE=

AE

EG

=

3 a

a 2

=

6

（13分）
∴cos∠AGE=

7

7

（14分）

點評：本題考查立體幾何的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，在求點E時因能力不夠易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意提高解題能力．