Question

如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，

底面

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）當(dāng)時，在線段上是否存在一點使二面角為，若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：在中，

∵

∴

∴，得

又∵底面

∴斜線在底面內(nèi)的射影為

∴由三垂線定理，得

故，                      …………………………………4分

（Ⅱ）以為原點，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)是平面的法向量，則

取，得

∴是平面的一個法向量。

同理可求：是平面的一個法向量

∴………………………………7分

故，二面角的余弦值

（Ⅲ）顯然是平面的一個法向量，可是

因得從而，得

設(shè)是平面的法向量，同（Ⅱ）容易解得是平面 的一個法向量。

由題意，得  ………………12分

即，注意到解得

故，當(dāng)點在線段上，且滿足時，二面角為

【解析】略