Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．則：（I） y₁ y₂=

-8

；（Ⅱ）三角形ABF面積的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，設(shè)AB：my=x-2，（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立消去x化為關(guān)于y的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用S_△ABF=

1

2

×1×|y₁-y₂|，及|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+32

即可得出．

解答：解：根據(jù)題意，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
設(shè)AB：my=x-2，（k≠0），聯(lián)立

my=x-2 y2=4x

化為y²-4my-8=0，
∵直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，∴△=16m²+32＞0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8．
S_△ABF=

1

2

×1×|y₁-y₂|，
∵|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

16m2+32

≥4

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時取等號．
∴S△ABF≥

1

2

×4

2

=2

2

．
故答案分別為-8，2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線的相交位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．