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        <strong id="o5kww"><u id="o5kww"></u></strong>
        1. 已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的離心率為
          6
          3
          ,過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),N為弦AB的中點(diǎn).
          (1)求直線ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率kON;
          (2)設(shè)M橢圓C上任意一點(diǎn),且
          OM
          OA
          OB
          ,求λ+μ的最大值和最小值.
          分析:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
          c
          a
          =
          6
          3
          ,所以有
          a2-b2
          a2
          =
          2
          3
          ,故有a2=3b2.橢圓C的方程可化為:x2+3y2=3b2,右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(
          2
          b,0
          ),據(jù)題意有AB所在的直線方程為:y=x-
          2
          b
          再結(jié)合韋達(dá)定理能夠求出斜率kON
          (2)
          OA
          OB
          可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對(duì)于這一平面內(nèi)的向量
          OM
          ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ,μ,使得等式
          OM
          OA
          OB
          成立.由此入手能夠求出λ+μ的最大值和最小值.
          解答:解:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
          c
          a
          =
          6
          3
          ,所以有
          a2-b2
          a2
          =
          2
          3
          ,故有a2=3b2
          從而橢圓C的方程可化為:x2+3y2=3b2
          易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(
          2
          b,0
          ),
          據(jù)題意有AB所在的直線方程為:y=x-
          2
          b

          由①,②有:4x2-6
          2
          bx+3b2=0

          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點(diǎn)N(x0,y0),由③及韋達(dá)定理有:x0=
          x1+x2
          2
          =
          3
          2
          b
          4
          y0=x0-
          2
          b=-
          2
          4
          b

          所以KON=
          y0
          x0
          =-
          1
          3
          ,即為所求.
          (2)顯然
          OA
          OB
          可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對(duì)于這一平面內(nèi)的向量
          OM
          ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ,μ,使得等式
          OM
          OA
          OB
          成立.設(shè)M(x,y),由1)中各點(diǎn)的坐標(biāo)有:(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),所以x=λx1+μx2,y=λy1+μy2
          又點(diǎn)在橢圓C上,所以有(λx1+μx22+3(λy1+μy22=3b2整理為λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.④
          由③有:x1+x2=
          3
          2
          b
          2
          ,x1x2=
          3b2
          4
          .所以
          x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-
          2
          b)(x2-
          2
          b)=4x1x2-3
          2
          b(x1+x2)+6b2
          =3b2-9b2+6b2=0

          又A﹑B在橢圓上,故有(x12+3y12)=3b2,(x22+3y22)=3b2
          將⑤,⑥代入④可得:λ22=1.(
          λ+μ
          2
          )2
          λ2+μ2
          2
          =
          1
          2
          ,故有-
          2
          2
          ≤λ+μ≤
          2
          2

          所以(λ+μ)max=
          2
          2
          ,(λ+μ)min=-
          2
          2
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線 和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為
          1
          2
          ,且經(jīng)過點(diǎn)P(1,
          3
          2
          )

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
          3
          ,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
          DA
          DB
          ,若λ∈[
          3
          8
          1
          2
          ],求直線AB的斜率的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,
          3
          2
          ),且離心率e=
          3
          2

          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)過點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
          1
          2

          (Ⅰ)求橢圓方程;
          (Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
          2
          2
          ,設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
          AP+BQ
          PQ
          ,若直線l的斜率k≥
          3
          ,則λ的取值范圍為
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案