Question

已知函數(shù)f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，，其中e是自然常數(shù)，其近似值為2.71828，a∈R。
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f(x)＞g(x)+；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）f(x)=ax-lnx，，
∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增，
∴f(x)的極小值為f（1）=1.
（2）f(x)的極小值為1，即f(x)在(0，e]上的最小值為1， ∴f(x)＞0，，
令，，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，，h(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，
∴，
∴在（1）的條件下，。
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使f(x)=ax-lnx（x∈(0，e]）有最小值3，，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時(shí)f(x)無最小值；
②當(dāng)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，滿足條件；
③當(dāng)時(shí)，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，，（舍去），
所以，此時(shí)f(x)無最小值；
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，f(x)有最小值3。