Question

某市為了提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速，對(duì)市民進(jìn)行了“生活滿(mǎn)意”度的調(diào)查．現(xiàn)隨機(jī)抽取40位市民，對(duì)他們的生活滿(mǎn)意指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下分布表：

滿(mǎn)意級(jí)別	非常滿(mǎn)意	滿(mǎn)意	一般	不滿(mǎn)意
滿(mǎn)意指數(shù)（分）	90	60	30	0
人數(shù)（個(gè)）	15	17	6	2

（I）求這40位市民滿(mǎn)意指數(shù)的平均值；
（II）以這40人為樣本的滿(mǎn)意指數(shù)來(lái)估計(jì)全市市民的總體滿(mǎn)意指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）中任選3人，記ξ表示抽到滿(mǎn)意級(jí)別為“非常滿(mǎn)意或滿(mǎn)意”的市民人數(shù)．求ξ的分布列；
（III）從這40位市民中，先隨機(jī)選一個(gè)人，記他的滿(mǎn)意指數(shù)為m，然后再隨機(jī)選另一個(gè)人，記他的滿(mǎn)意指數(shù)為n，求n≥m+60的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）記表示這40位市民滿(mǎn)意指數(shù)的平均值，則=63.75．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0、1、2、3．
設(shè)滿(mǎn)意級(jí)別為“非常滿(mǎn)意或滿(mǎn)意”為事件M，則P（M）=，可知ξ～B．
∴P（ξ=i）=，i=0，1，2，3．
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

（Ⅲ）設(shè)所有滿(mǎn)足條件n≥m+60的事件為A．
①滿(mǎn)足m=0且n=60的事件數(shù)為：．
②滿(mǎn)足m=0且n=90的事件數(shù)為：=30．
③滿(mǎn)足m=30且n=90的事件數(shù)為：．
∴P（A）==．
所以滿(mǎn)足條件n≥m+60的事件的概率為．
分析：（I）利用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得出；
（II）設(shè)滿(mǎn)意級(jí)別為“非常滿(mǎn)意或滿(mǎn)意”為事件M，則P（M）=，可知ξ～B．由公式P（ξ=i）=，i=0，1，2，3．即可得到ξ的分布列．
（III）設(shè)所有滿(mǎn)足條件n≥m+60的事件為A．則事件A包括以下三種類(lèi)型：①滿(mǎn)足m=0且n=60的事件數(shù)為：．②滿(mǎn)足m=0且n=90的事件數(shù)為：．③滿(mǎn)足m=30且n=90的事件數(shù)為：．從這40位市民中，先隨機(jī)選一個(gè)人，然后再隨機(jī)選另一個(gè)人，其選法共有，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列、正確分類(lèi)討論、古典概型的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．