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        1. 已知拋物線方程C:y2=2px(p>0),點F為其焦點,點N(3,1)在拋物線C的內(nèi)部,設(shè)點M是拋物線C上的任意一點,|
          MF
          |+|
          MN
          |
          的最小值為4.
          (1)求拋物線C的方程;
          (2)過點F作直線l與拋物線C交于不同兩點A、B,與y軸交于點P,且
          PF
          =λ1
          FA
          =λ2
          FB
          ,試判斷λ12是否為定值?若是定值,求出該定值并證明;若不是定值,請說明理由.
          分析:(1)準線方程為l:x=-
          p
          2
          ,點M到l的距離設(shè)為d,由拋物線定義,|
          MF
          |+|
          MN
          |=d+|
          MN
          |≥3+
          p
          2
          =4
          ,由此能求出拋物線C的方程.
          (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(xiàn)(1,0),設(shè)l:y=k(x-1),則P(0,-k),由
          PF
          =λ1
          FA
          =λ2
          FB
          知(1,k)=λ1(x1-1,y1)=λ2(x2-1,y2),由此能夠判斷λ12是為定值-1.
          解答:解:(1)準線方程為l:x=-
          p
          2
          ,點M到l的距離設(shè)為d,由拋物線定義,|
          MF
          |+|
          MN
          |=d+|
          MN
          |≥3+
          p
          2
          =4
          ,p=2,所以y2=4x.
          (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(xiàn)(1,0)
          由題意知直線l的斜率k存在且不等于0,
          設(shè)l:y=k(x-1),則P(0,-k),
          PF
          =λ1
          FA
          =λ2
          FB
          知(1,k)=λ1(x1-1,y1)=λ2(x2-1,y2)∴k=λ1y12y2∵k≠0,∴λ1=
          k
          y1
          λ2=
          k
          y2
          ,λ1+λ2=k×
          y1+y2
          y1y2

          將y=k(x-1)代入y2=4x得y2-
          4
          k
          y-4=0
          ,y1+y2=
          4
          k
          ,y1y2=-4
          y1+y2
          y1y2
          =-
          4
          k
          ×
          1
          4
          =-
          1
          k
          ,∴λ1+λ2=k×(-
          1
          k
          )=-1
          為定值.
          點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
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          已知拋物線方程為,直線的方程為,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為,P到直線的距離為,則的最小(  )

          A.     B.      C.     D.

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年遼寧省高三第一次模擬考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

          已知拋物線方程為,直線的方程為,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為,P到直線的距離為,則的最小值為

          A.         B.       C.      D.

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:0108 模擬題 題型:解答題

          已知拋物線方程C:y2=2px(p>0),點F為其焦點,點N(3,1)在拋物線C的內(nèi)部,設(shè)點M是拋物線C上的任意一點,的最小值為4,
          (Ⅰ)求拋物線C的方程;
          (Ⅱ)過點F作直線l與拋物線C交于不同兩點A、B,與y軸交于點P,且,試判斷λ12是否為定值?若是定值,求出該定值并證明;若不是定值,請說明理由。

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          已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為( )
          A.
          B.
          C.
          D.

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          同步練習(xí)冊答案