Question

直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），若拋物線y²=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)岀存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直，兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上；將兩點(diǎn)代入拋物線作差，得到斜率與中點(diǎn)的關(guān)系，
據(jù)點(diǎn)在拋物線上，利用基本不等式求出斜率范圍．

解答：解：設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-1），弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入拋物線方程并作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=x₁-x₂．
∵k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

，
∴y₁+y₂=-k．注意到AB的中點(diǎn)在直線l：y-1=k（x-1）上，∴x₁+x₂=1-

2

k

．
∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=1-

2

k

．
由y₁²+y₂²＞

(y1+y2)2

2

，得1-

2

k

＞

k2

2

?

(k+2)(k2-2k+2)

2k

＜0
?-2＜k＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決對(duì)稱問(wèn)題的基本方法是利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直，兩點(diǎn)中點(diǎn)在對(duì)稱軸上．