Question

如圖，已知ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=，AD=2，E為PB上一點，且PC⊥平面ADE.

(1)求PC與平面PBD所成角的大小;

(2)求的值;

(3)求四棱錐P—ABCD夾在平面ADE與底面ABCD之間部分的體積.

Answer 1

解：(1)在平面ABCD內(nèi)作CG⊥BD于G,連結(jié)PG,

∵PD⊥平面ABCD,CG平面ABCD,

∴PD⊥CG.

∴CG⊥平面PBD.

∴∠CPG就是PC與面PBD所成的角.

    在Rt△BCD中,CG=,

    又PC=,

    故在Rt△PGC中,sinCPG=.

    又∵∠CPG為銳角,

∴∠CPG=arcsin.

∴PC與平面PBD所成的角為arcsin.

(2)設(shè)平面ADE與PC交于F，連DF、EF，

∵PC⊥平面ADE，DF平面ADE，∴PC⊥DF.

    又∴PD=DC,∴F為PC中點.

∵BC∥AD,BC平面ADE.

∴BC∥平面ADE,

    又平面ADE∩平面PBC=EF.

∴BC∥EF.

∴E為PB中點,故=1.

(3)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD.

    又AD⊥DC,∴AD⊥平面PDC.

    又DF平面PDC,∴AD⊥DF,

∵EF∥BC,BC∥AD,∴EF∥AD.

    又PF⊥平面ADEF,EF=BC=1,DF=DC=,

∴V_P—DAEF=

    又V_P—ABCD=×(2×)×=8,

∴V=V_P—ABCD-V_P—DAEF=5,

    即四棱錐P—ABCD夾在平面ADE與底面ABCD之間部分的體積為5.