Question

已知橢圓C:（a＞b＞0），點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(2,)在直線(xiàn)x=上，且|F₁F₂|=|PF₂|,直線(xiàn):y=kx+m為動(dòng)直線(xiàn)，且直線(xiàn)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q，滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)取何值時(shí)，△ABO的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

解：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、 ，  

又，  ,       

解得，                   

橢圓的方程為 ．          

   （Ⅱ）由，得．

設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則

．

   （1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則．

   （2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，

由，得       即

點(diǎn)在橢圓上，有，

化簡(jiǎn)，得．

，有．………………①       

又，

由，得．……………………………②　　 　

將①、②兩式，得．

，，則且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ），點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

的面積

                ． 

由①有，代入上式并化簡(jiǎn)，得．

，．            

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為．