Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．對(duì)a分類(lèi)討論，即可得出單調(diào)性．
（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，當(dāng)x=-1時(shí)，0≤-+1恒成立．當(dāng)x＞-1時(shí)，a令g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解法一：（1）

①當(dāng)時(shí)，

		-1
	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，的根為或.

若，即，

		-1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

若，即，

在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間.

若，即，

				-1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上：

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

自時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）因?yàn)?/span>，所以.

當(dāng)時(shí)，恒成立.

當(dāng)時(shí)，.

令，，

設(shè)，

因?yàn)?/span>在上恒成立，

即在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則，所以.

綜上，的取值范圍為.

解法二：（1）同解法一；

（2）令，

所以，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，

所以，滿足題意.

當(dāng)時(shí)，

令，

因?yàn)?/span>，即在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，，

所以在上有唯一的解，記為，

	-	0	+
	↘	極小值	↗

，滿足題意.

當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.

綜上，的取值范圍為.