Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)為

2

．
（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：AB₁⊥BC₁；
（2）設(shè)AB₁與BC₁的夾角為

π

3

，求側(cè)棱的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)D，連接AD，B₁D，得面ABC⊥面BCC₁B₁．再利用直線與平面垂直的判定定理得出AD⊥面BCC₁B₁于是Rt△CBC₁與Rt△BB₁D相似，最后得AB₁⊥BC₁；
（2）取BC₁的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連DE，則DE∥AB₁，∠EDB即為A B₁與B C₁成

π

3

角，利用等邊三角形EDB中，BD的長(zhǎng)，從而得出側(cè)棱的長(zhǎng)．

解答：解：（1）取BC中點(diǎn)D，連接AD，B₁D，
由正三棱錐ABC-A₁B₁C₁，得面ABC⊥面BCC₁B₁．
又D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，故
AD⊥BC，于是AD⊥面BCC₁B₁
在矩形BCC₁B₁中，BC=

2

，BB₁=1，
于是Rt△CBC₁與Rt△BB₁D相似，
∠CBC₁=∠BB₁D，BC₁⊥DB₁
得AB₁⊥BC₁

（2）取BC₁的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連DE，則DE∥AB₁，∠EDB即為A B₁與B C₁成60⁰角，
∴∠EDB=60°，在等邊三角形EDB中，BD=BE=

6

2

，
∴BC₁=2BD=

6

，?BB₁=

6-2

=2
∴側(cè)棱長(zhǎng)為2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．