Question

（1）設(shè)不等式2x-1＞m（x2-1）對(duì)滿(mǎn)足-2≤m≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍；
（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x2-1）對(duì)滿(mǎn)足-2≤x≤2的實(shí)數(shù)x的取值都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）構(gòu)造函數(shù)f（m）=-（x²-1）m+2x-1，原不等式等價(jià)于f（m）＞0對(duì)于m∈[-2，2]恒成立，從而只需要 即可，進(jìn)而解不等式即可．
（2）令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：使|x|≤2的一切實(shí)數(shù)都有2x-1＞m（x²-1）成立．對(duì)m的值進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)m=0時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)m≠0時(shí)，f（x）只需滿(mǎn)足，解之得結(jié)果為空集，從而得出結(jié)論．
解答：解：（1）令f（m）=2x-1-m（x²-1）=（1-x²）m+2x-1，可看成是一條直線，且使|m|≤2的一切
實(shí)數(shù)都有2x-1＞m（x²-1）成立．
所以，，即，即
所以，．
（2）令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），使|x|≤2的一切實(shí)數(shù)都有2x-1＞m（x²-1）成立．
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=2x-1在時(shí)，f（x）≥0．（不滿(mǎn)足題意）
當(dāng)m≠0時(shí)，f（x）只需滿(mǎn)足下式：

或
或或
解之得結(jié)果為空集．
故沒(méi)有m滿(mǎn)足題意．
點(diǎn)評(píng)：本題以不等式為載體，恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，變換主元，考查解不等式的能力．屬于中檔題．