對于數(shù)列{an} （n=1，2，…，m），令bk為a1，a2，…，ak中的最大值，稱數(shù)列{bn}為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列2，1，3，7，5的創(chuàng)新數(shù)列為2，2，3，7，7．定義數(shù)列{Cn}：c1，c2，c3，…，cm是自然數(shù)1，2，3，…，m（m＞3）的一個排列．
（Ⅰ）當(dāng)m=5時，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列{Cn}；
（Ⅱ）是否存在數(shù)列{Cn}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列{Cn}，若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列 {Cn}有兩個．
（Ⅱ）存在數(shù)列{Cn}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{Cn} 的創(chuàng)新數(shù)列為{ en}，若{ en}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，經(jīng)過檢驗，當(dāng)d=0或1時，存在數(shù)列{Cn}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列 {Cn}有兩個，即數(shù)列3，4，1，5，2；
或數(shù)列3，4，2，5，1． …（4分）
（Ⅱ）存在數(shù)列{Cn}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{Cn} 的創(chuàng)新數(shù)列為{ en}，（n=1，2，3，4…，m），
因為em 是 c1，c2，c3，…，cm 中的最大值，所以 em=m．
由題意知，ek為 c1，c2，c3，…ck 中最大值，所以，ek≤ek+1，且 ek∈{1，2，3，…，m}．
若{ en}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則d=ek+1-ek≥0 且d∈N．
當(dāng)d=0 時，{ en}為常數(shù)列，又 em=m，所以數(shù)列{ en}為 m，m，…，m．
此時數(shù)列{Cn}是首項為m的任意一個符合條件的數(shù)列． …（8分）
當(dāng)d=1時，因為em=m，所以數(shù)列{ en} 為1，2，…，m．
此時，數(shù)列{cn} 為1，2，3，…，m． …（10分）
當(dāng)d≥2時，因為 em=e1+（m-1）d≥e1+（m-1）2=2m-2+e1，
又m＞3，e1 為正整數(shù)，所以 em＞m，這與 em=m 矛盾，所以此時{ en}不存在，即不存在{Cn}使得它的創(chuàng)新數(shù)列為公差d≥2的等差數(shù)列．…（13分）
綜上，當(dāng)數(shù)列{Cn}為以m為首項的任意一個符合條件的數(shù)列，或{Cn}為數(shù)列1，2，3，…，m時，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列．…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查創(chuàng)新數(shù)列的定義，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
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