Question

給出下列四個(gè)命題：
①已知，則在方向上的投影為4；
②若函數(shù)y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x（x∈R）的值恒等于2，則點(diǎn)（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-2）；
③函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)；
④已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-c，b]，則點(diǎn)（a，b）的軌跡是直線；
⑤P是△ABC邊BC的中線AD上異于A、D的動(dòng)點(diǎn)，AD=3，則的取值范圍是．
其中所有正確命題的序號(hào)是    ．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)在方向上的投影為，可得結(jié)論；
②先求點(diǎn)（a，b），即可得出結(jié)論；
③y=lgx在（0，+∞）上是增函數(shù)，可得函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)；
④利用函數(shù)是偶函數(shù)，求出b+c的值，確定a-c，b的關(guān)系，求出點(diǎn)（a，b）滿足的關(guān)系，即可得到；
⑤|AP|=t，t∈（0，3），則|PD|=3-t，故==-2t（3-t）=2t²-6t，利用配方法可得結(jié)論．
解答：解：①已知，則在方向上的投影為=4，故是真命題；
②∵函數(shù)y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x=（a-b）+2bcos²x的值恒等于2，∴，∴a=2，b=0，∴點(diǎn)（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，0），故是假命題；
③∵y=lgx在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，故是真命題；
④函數(shù)f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-c，b]，所以b+c=0，并且b=c-a，所以b=-b-a，即b=-a，所以點(diǎn)（a，b）的軌跡是直線，故是真命題；
⑤設(shè)|AP|=t，t∈（0，3），則|PD|=3-t，∴==-2t（3-t）=2t²-6t=，∵t∈（0，3），∴的取值范圍是，故是真命題．
故答案為：①③④⑤
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判定，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．