Question

已知：函數(shù)f（x）=ax+

b

x

+c（a、b、c是常數(shù)）是奇函數(shù)，且滿足f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上的單調(diào)性并說明理由；
（Ⅲ）試求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)是奇函數(shù)得f（-x）+f（x）=0代入求得c的值，又因?yàn)閒（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，代入得到a與b的方程，聯(lián)立求出a、b即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的解析式，求出f′（x），在（0，

1

2

）上得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）令導(dǎo)函數(shù)等于0求得x=

1

2

，根據(jù)x的取值區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的增減性，得到函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0
即-ax-

b

x

+c+ax+

b

x

+c=0∴c=0
由f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，得a+b=

5

2

，2a+

b

2

=

17

4

解得a=2，b=

1

2

∴a=2，b=

1

2

，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+

1

2x

，∴f′（x）=2-

1

2x2

當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，0＜2x²＜

1

2

，

1

2x2

＞2
∴f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上為減函數(shù)．
（Ⅲ）由f′（x）=2-

1

2x2

=0，x＞0得x=

1

2

∵當(dāng)x＞

1

2

，

1

2x2

＜2，
∴f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

2

，+∞）上為增函數(shù)．在（0，

1

2

）上為減函數(shù)．
所以f（x）的最小值=f（

1

2

）=2．

點(diǎn)評：考查學(xué)生會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，有f（-x）+f（x）=0成立，會利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．