Question

有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù).已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)=+［g(0)-］·(p≥0)，其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；

（2）求證：當(dāng)g(0)＜時(shí)，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%？

Answer 1

（1）解：∵g(t)為常數(shù)，有g(shù)(0)-=0，∴g(0)=.

（2）證明：我們易證得0＜t₁＜t₂，則

 

g(t₁)-g(t₂)=［g(0)-］-［g(0)-］=［g(0)-］［-］

=［g(0)-］.

 

∵g(0)-＜0,t₁＜t₂, ,

 

∴g(t₁)＜g(t₂).

故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.

（3）解：污染停止即p=0,g(t)=g(0)·,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平的5%,

即g(t)=5%g(0),

∴=,∴t=ln20.

故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.