Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求證：直線BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值；

（Ⅲ）已知M在線段PC上，且BM=DM=，CM=3，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅?i>ABCD是菱形， 所以AC⊥BD． ………………1分

    又因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BD， …3分

       又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811055009506027/SYS201209081106144128848857_DA.files/image003.png">，所以BD⊥平面PAC． ………………4分

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】(I)由條件易知AC⊥BD,然后再證PA⊥BD即可.

（II）本小題關(guān)鍵是找或做出PB與平面PAD所成的角，過B作，連結(jié)PE，

因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BE，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811055009506027/SYS201209081106144128848857_DA.files/image006.png">，，所以BE⊥平面PAD．所以是直線與平面所成角．過B作，連結(jié)PE，

因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BE

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811055009506027/SYS201209081106144128848857_DA.files/image006.png">，，所以BE⊥平面PAD． ………………５分

所以是直線與平面所成角． ………………６分

在△BEP中， ，， ………………７分

所以．

所以是直線與平面所成角的正切值． ………………８分

（Ⅲ）設(shè)F是ＭＣ的中點(diǎn)，連結(jié)ＢＦ，ＤＦ，

因?yàn)椋拢停剑拢茫�△ＢＭＣ為等腰△�?/p>

所以ＢＦ⊥ＭＣ  同理ＤＦ⊥ＭＣ                 ………………9分

所以為二面角的平面角．………１０分

在△中，………………１１分

由余弦定理得．

所以二面角的余弦值為．………………１2分