Question

【題目】已知點(diǎn)在圓： 上，而為在軸上的投影，且點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若是曲線上兩點(diǎn)，且， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

由可知，N為中點(diǎn)，用相關(guān)點(diǎn)法可以求出N點(diǎn)的軌跡方程。

分斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為： ，與橢圓組方程組，利用弦長公式和韋達(dá)定理建立k，t的關(guān)系式。再利用點(diǎn)到直線的距離公式和面積公式用k,t表示三角形面積，消t，換元可解。

試題解析：

（1）設(shè), 軸，所以

又設(shè),由有代入即曲線的方程為

（2）設(shè)， ，直線方程為： ，

聯(lián)立得，故，

由4，得，

故原點(diǎn)到直線的距離，∴，

令，則，又∵， 當(dāng).

當(dāng)斜率不存在時(shí)， 不存在，綜合上述可得面積的最大值為1.