Question

【題目】已知函數(shù)的圖象上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在的圖象上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程為，即，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.

所以，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且.

則直線(xiàn)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不可能為.

當(dāng)時(shí)，令，可得，

此時(shí)，令.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

函數(shù)的極小值為；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

函數(shù)的極大值為.

作出函數(shù)和函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

故答案為：.