Question

若0＜a＜1，則函數(shù)y=log_a[1-（

1

2

）^x]在定義域上是（　�。�

• A、增函數(shù)且y＞0
• B、增函數(shù)且y＜0
• C、減函數(shù)且y＞0
• D、減函數(shù)且y＜0

Answer 1

分析：本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，我們要先求出函數(shù)的定義域，然后從內(nèi)到外逐步分析，（

1

2

）^x、[1-（

1

2

）^x]的單調(diào)性和取值范圍，再結(jié)合0＜a＜1及復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，判斷l(xiāng)og_a[1-（

1

2

）^x]的單調(diào)性及函數(shù)值的取值范圍．

解答：解：要使函數(shù)y=log_a[1-（

1

2

）^x]的解析式有意義
則1-（

1

2

）^x＞0
即（

1

2

）^x＜1
即x＞0
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，（

1

2

）^x為減函數(shù)，且0＜（

1

2

）^x＜1
[1-（

1

2

）^x]為增函數(shù)，且0＜[1-（

1

2

）^x]＜1
∵0＜a＜1，故
y=log_a[1-（

1

2

）^x]為減函數(shù)，且y＞0
故選C

點(diǎn)評：函數(shù)y=a^x和函數(shù)y=log_ax，在底數(shù)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在其定義域上均為增函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在其定義域上均為減函數(shù)，而f（-x）與f（x）的圖象關(guān)于Y軸對稱，其單調(diào)性相反，故函數(shù)y=a^-x和函數(shù)y=log_a（-x），在底數(shù)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在其定義域上均為減函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在其定義域上均為增函數(shù)．