數(shù)列
的前
項和為
，若
，點
在直線
上．
⑴求證：數(shù)列
是等差數(shù)列；
⑵若數(shù)列
滿足
，求數(shù)列的前項和
；
⑶設
，求證：
．
（1）證明過程詳見解析；（2）
；（3）證明過程詳見解析.
【解析】
試題分析：本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列、不等式等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力.第一問，由于點在直線上，所以將點代入得到
與
的關系式，兩邊同除以
，湊出新的等差數(shù)列，并求出首項個公差；第二問，先利用第一問的結(jié)論求出
的通項公式，得到
的表達式，由求
，將得到的結(jié)論代入到
中，用錯位相減法求
，在解題過程中用到了等比數(shù)列的前n項公式；第三問，先將第二問的結(jié)論代入，利用分組求和的方法先求出
，當
時，具體比較結(jié)果與
的大小，當
時，得到的數(shù)都比
的結(jié)果大，所以都大于，所以不等式成立.
試題解析：（1）∵點
在直線
（
）上，
∴
，
兩邊同除以，得
，
，
于是，是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列.
（2）∵
，∴
，
∴當
時，
，
當
時，
，
∴
∴
，
∴
∴
∴
∴
.
（3）∵
，
∴
當時，
，
當時，
，
當時，
，
所以
.
考點：1.配湊法求通項公式；2.等差數(shù)列的通項公式；3.錯位相減法；4.等比數(shù)列的前n項和公式；5.分組求和.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
設數(shù)列
的前
項和為
，已知
(n∈N*).
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設
，數(shù)列
的前項和為
，若存在整數(shù)
，使對任意n∈N*且n≥2，都有
成立，求的最大值；
（Ⅲ）令
，數(shù)列
的前項和為
，求證：當n∈N*且n≥2時，
.
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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年黑龍江省高三上學期期中考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題
已知等差數(shù)列
中，
，記數(shù)列
的前
項和為
，若
，對任意的
成立，則整數(shù)
的最小值為( )
A．5 B．4 C．3 D．2
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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆江蘇省江陰市高一3月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
設數(shù)列
的前
項和為
，若對任意
，都有
.
⑴求數(shù)列的首項；
⑵求證：數(shù)列
是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
⑶數(shù)列
滿足
，問是否存在
，使得
恒成立？如果存在，求出 的值，如果不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年吉林省高三第三次模底考試文科數(shù)學卷 題型：解答題
(本題滿分12分)
已知數(shù)列
的各項都為正數(shù)，
，前
項和
滿足
（
）.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）令
（
），數(shù)列
的前項和為
，若
對任意正整數(shù)都成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省淮安市淮陰區(qū)2009-2010學年度第二學期期末高一年級調(diào)查測試數(shù)學試題 題型：解答題
（本題滿分16分）
設數(shù)列
的前
項和為
，若對任意
，都有
.
⑴求數(shù)列的首項；
⑵求證：數(shù)列
是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
⑶數(shù)列
滿足
，問是否存在
，使得
恒成立？如果存在，求出 的值，如果不存在，說明理由．
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