Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長(zhǎng)為1，高AA₁=

2

，它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，那么球的半徑是

 

；A，B兩點(diǎn)的球面距離為

 

．

Answer 1

分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長(zhǎng)為1，高AA₁=

2

，它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，中點(diǎn)O為球心．則易得球的半徑． 根據(jù)球面距離的定義，應(yīng)先算出球面兩點(diǎn)對(duì)球心的張角，再乘以球的半徑即可．

解答：解：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長(zhǎng)為1，高AA₁=

2

，它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，
那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，中點(diǎn)O為球心．
正四棱柱對(duì)角線AC₁=2，
則球的半徑為1．
根據(jù)球面距離的定義，可得∠AOB=

π

3

；
則A，B兩點(diǎn)的球面距離為

π

3

•1=

π

3

．
那么球的半徑是 1；A，B兩點(diǎn)的球面距離為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：（1）涉及到多面體與球相關(guān)的“切”“接”問題時(shí)，關(guān)鍵是抓住球心的位置．球心是球的靈魂．
（2）根據(jù)球面距離的定義，應(yīng)先算出球面兩點(diǎn)對(duì)球心的張角，再乘以球的半徑．這是通性通法．