Question

已知向量u=(x，y)與向量v=(y，2y-x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用v=f(u)表示.

(1)證明對(duì)于任意向量a、b及常數(shù)m、n，恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；

(2)設(shè)a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；

(3)求使f(c)=(3，5)成立的向量c.

Answer 1

(1)證明：設(shè)向量a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂),

則f(mx₁+nx₂，my₁+ny₂)=(my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂)，

又mf(a)=(my₁，2my₁-mx₁)，nf(b)=(ny₂，2ny₂-nx₂)，

所以mf(a)+nf(b)=(my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂).

所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).

(2)解：f(a)=(1，1)，f(b)=(0，-1).

(3)解：由得所以c=(1，3).